浮点数精度问题

Posted on by zhezimi

最近经常碰到浮点数相减的问题，本来按照原先的预期，两个数字相减后的结果是1的，最后返回显示是0.999999999999。 一直搞不清楚原因，这次正好来整理一下。下面我们先以一段php代码开始。

<?php
var_dump(0.1 + 0.2 == 0.3);

$# php test.php
bool(false)

大家一看结果是false，顿时会有一个疑问：这是怎么回事，这是php的bug吗？其实这不是，很多语言都有这个问题，要想搞清楚这问题怎么产生的，我们首先要知道浮点数是怎么表示的。

理解浮点数的第一步是考虑含有小数的二进制数字是怎么表示的，要想理解二进制，我们先看下我们熟悉的十进制表示法。

12.34 = 1*102 + 2*101 + 3*10-1 + 4*10-2 = 10 + 2 + 0.3 + 0.04

数字权的定义与十进制的小数点(.)有关，这意味着小数点左边的数字的权值是10的正幂，得到整数值，而小数点右边的数字的权是10的负幂，得到小数值。

那如果换成二进制的话

101.11 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.75

假定我们仅考虑有限的编码，那么十进制表示法不能准确的表达1/3和5/7这样的数字，类似，小数的二进制表示法也有这个问题，有些小数只能够被近似的地表示，但增加二进制表示的长度可以提高表示的精度。

十进制与二进制的转换

十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分。

1：整数部分

方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止。

最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。

例子：将十进制的168转换为二进制 得出结果 将十进制的168转换为二进制，（10101000）

分析：

  • 第一步，将168除以2,商84,余数为0。
  • 第二步，将商84除以2，商42余数为0。
  • 第三步，将商42除以2，商21余数为0。
  • 第四步，将商21除以2，商10余数为1。
  • 第五步，将商10除以2，商5余数为0。
  • 第六步，将商5除以2，商2余数为1。
  • 第七步，将商2除以2，商1余数为0。
  • 第八步，将商1除以2，商0余数为1
  • 第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，即10101000

2：小数部分

方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分为零为止。

如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。换句话说就是0舍1入。

读数要从前面的整数读到后面的整数。

例子：将0.125换算为二进制 得出结果：将0.125换算为二进制（0.001）

分析:

  • 第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25。
  • 第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5。
  • 第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0。
  • 第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

我们可以按照上面的公式来分析一下0.1和0.2，这时候大家会发现，根本就没办法小数部分为零，就跟10/3一样是除不尽的。

针对这种情况，我们只能根据具体情况来决定保留多少位小数点，保留的位数越多，数字就越精确。

就像10/3一样，我们保留两位小数那就是3.33，保留四位小数那就是3.3333，同样是乘以3，那么3.3333*3的值肯定比3.33*3的值更靠近10。

其实到这一步，我们就大概知道了为什么0.1+0.2!=0.3的原因了，因为0.1和0.2转换为2进制的时候丢失了部分精度，那当然不可能等于0.3了。我们可以拿两个不丢失精度的小数来相加。例如0.5+0.25，那肯定是等于0.75的。

下面我们来介绍一下浮点数。

浮点数

IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。

这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number），一些特殊数值（（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算符”；它也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。

计算机使用浮点数运算的主因，在于电脑使用二进位制的运算。例如：4÷2=2，4=100(2)、2=010(2)，在二进制相当于退一位数。则1.0÷2=0.5=0.1(2)也就是{\frac {1}{2}}。依此类推二进制的0.01(2)就是十进制{\displaystyle {\frac {1}{2^{2}}}}=\frac{1}{4}=0.25。

由于十进位制无法准确换算成二进位制的部分小数，如0.1，因此只能使用近似值的方式表达。

一个浮点数 (Value) 的表示其实可以这样表示：

{\displaystyle {\texttt {Value}}={\texttt {sign}}\times {\texttt {exponent}}\times {\texttt {fraction}}}

也就是浮点数的实际值，等于符号位（sign bit）乘以指数偏移值(exponent bias)再乘以分数值(fraction)。

我们常见的浮点数类型分为32位单精度和64位双精度，那么我们介绍下。

32位单精度

单精度二进制小数，使用32个比特存储。

S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。

指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（32位的情况是127）的和。

采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。

正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。单精度的指数部分是−126～+127加上偏移值127，指数值的大小从1～254（0和255是特殊值）。

浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。

64位双精度

双精度二进制小数，使用64个比特存储。

S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。

指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（64位的情况是1023）的和。

采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。

正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。双精度的指数部分是−1022～+1023加上1023，指数值的大小从1～2046（0（2进位全为0）和2047（2进位全为1）是特殊值）。

浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。

提示：

解决方案：直接将小数变为整数，然后再比较，例如0.1*10+0.2*10==0.3*10，这种比较返回的肯定是true。

注意：很多人在使用mysql的时候，会使用float来存储价格，例如123.45,单位是元，这种后期做算法都是有概率出现问题的，我的建议就是使用int，单位为分。

参考链接：

《深入理解计算机系统》

https://zh.wikipedia.org/wiki/IEEE_754#32%E4%BD%8D%E5%96%AE%E7%B2%BE%E5%BA%A6

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